Jordanbasis

Ich möchte hier einen alternativen Beweis für die Existenz von Jordanbasen für nilpotente Endomorphismen angeben. Den ursprünglichen Satz und Beweis habe ich aus „Lineare Algebra“ von Theo de Jong. Er benutzt dort eine äusserst knappe Formulierung, die ich hier ausführlicher machen möchte.

Notation und Definitionen

Diese sind identisch zu den Definitionen im Post über den Spaltungssatz. Im weiteren Verlauf sei $V$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem beliebigen Körper $K$ und $\varphi : V \to V$ eine lineare Abbildung.

Mit $M_\varphi \in K[x]$ wird das normierte Polynom minimalen Grades bezeichnet, welches $M_\varphi(\varphi) = 0$ erfüllt. Hier ist mit $0$ die Nullabbildung gemeint. Es heisst „Minimalpolynom von $\varphi$“. Weil $V$ endlich-dimensional ist, existiert dieses Polynom. (Beweis weggelassen)

Definition: Normierte Polynome

Ein Polynom $\sum_{k=1}^n a_k x^k \in K[x]$ vom Grad $n$ heisst normiert, falls $a_n = 1$. In anderen Worten: der Koeffizient mit höchstem Grad hat den Wert 1.

Jordanbasen für nilpotente Endomorphismen

Sei $M_\varphi = x^k$ für ein $k \in \mathbb{N}$. In diesem Fall sagt man, $\varphi$ sei nilpotent. Dann gibt es eine Jordanbasis von $V$ für $\varphi$. Das heisst, eine Basis $b_1, \dots, b_n$ von $V$ mit $\varphi(b_i) = b_{i+1}$ oder $\varphi(b_i) = 0$ für alle $i \in \{1, \dots, n\}$.

Beweis

Für $k=0$ gilt: $0 = M_\varphi(\varphi) = \varphi^0 = \text{id}_V$. Also ist $\dim (V) = 0$ und die leere Basis ist eine Jordanbasis.

Für $k \ge 1$. Es gibt $\{a_1, \dots, a_s\} \subseteq V$, so dass für jede Basis $\mathcal{B}$ von $\ker\left(\varphi^{k-1}\right)$, die Menge $\{a_1, \dots, a_s\} \cup \mathcal{B}$ eine Basis von $V$ ist. (Nimm eine beliebige Basis von $\ker\left(\varphi^{k-1}\right)$ und ergänze.) Behauptung: Diese $a_1, \dots, a_s$ sind Teil einer Jordanbasis für $\varphi$. Beweis durch Induktion nach $k$.

Verankerung für $k = 1$:

Es gilt: $0=M_\varphi\left(\varphi\right) = \varphi^1 = \varphi$ und $\varphi^{k-1} = \varphi^0 = \text{id}_V$, also ist $\ker\left(\varphi^{k-1}\right) = \{0\}$. Und die $a_1, \dots, a_s$ sind bereits eine (Jordan-)Basis von $V$.

Induktionsschritt $k-1 \leadsto k$:

Induktionsannahme: Sei $W$ ein beliebiger Vektorraum mit $\dim\left(W\right)<\infty$ und $\psi : W \to W$ linear mit $M_\psi = x^{k-1}$. Sei $t \in \mathbb{N}$ und $b_1, \dots, b_t \in W$ eine Liste von Vektoren, die jede Basis von $\ker\left(\psi^{k-1}\right)$ zu einer Basis von $W$ ergänzen. Dann sind diese $b_1, \dots, b_t$ Teil einer Jordanbasis von $W$ für $\psi$.

Behauptung: $\text{span}\left\{ \varphi(a_1), \dots, \varphi(a_s) \right\} \cap \ker\left(\varphi^{k-2}\right) = \{ 0 \}$

Sei $\sum \alpha_i \varphi(a_i) \in \ker\left(\varphi^{k-2}\right)$ für gewisse $\alpha_i \in K$. Dann ist $0 = \varphi^{k-2}\left(\sum \alpha_i \varphi(a_i)\right) = \varphi^{k-1}\left(\sum \alpha_i a_i\right)$. Also ist $\sum \alpha_i a_i \in \ker\left(\varphi^{k-1}\right) \cap \text{span}\left\{a_1, \dots, a_s\right\}$. Aber die Menge rechts ist nach Konstruktion der $a_1, \dots, a_s$ genau $\{0\}$. Also ist $\sum \alpha_i a_i = 0$ und weil die $a_1, \dots, a_s$ linear unabhängig sind, müssen alle $\alpha_i = 0$ sein.

Behauptung: Die $\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_s)$ sind linear unabhängig.

Sei $0 = \sum \alpha_i \varphi(a_i) = \varphi(\sum \alpha_i a_i)$. Also ist $\sum \alpha_i a_i \in \ker \varphi \cap \text{span}\left\{a_1, \dots, a_s\right\} \subseteq \ker \varphi^{k-1} \cap \text{span}\left\{a_1, \dots, a_s\right\} = \{0\}$. Und deshalb $\sum \alpha_i a_i = 0$. Wieder weil die $a_1, \dots, a_s$ linear unabhängig sind, sind die $\alpha_i = 0$.

Behauptung: Es gibt $a_{s+1}, \dots, a_r \in \ker\left(\varphi^{k-1}\right)$ so dass $\varphi(a_1), \dots, \varphi(a_s), a_{s+1}, \dots, a_r$ mit jeder Basis von $\ker\left(\varphi^{k-2}\right)$ eine Basis von $\ker\left(\varphi^{k-1}\right)$ ergeben.

Nimm dazu eine beliebige Basis $\mathcal{B}$ von $\ker\left(\varphi^{k-2}\right)$ und ergänze $\mathcal{B} \cup \left\{ \varphi(a_1), \dots, \varphi(a_s) \right\}$ zu einer Basis von $\ker\left(\varphi^{k-1}\right)$.

Wende nun die Induktionsannahme an, mit $W := \ker\left(\varphi^{k-1}\right)$, $\psi := \varphi|_W$, $t := r$ und $b_1 := \varphi(a_1), \dots, b_s := \varphi(a_s), b_{s+1} := a_{s+1}, \dots, b_r := a_r$.

Das heisst, es gibt $\mathcal{B} \subseteq \ker\left(\varphi^{k-1}\right)$ so dass $\left\{ \varphi(a_1), \dots, \varphi(a_s), a_{s+1}, \dots, a_r \right\} \cup \mathcal{B}$ in geeigneter Reihenfolge eine Jordanbasis von $\ker\left(\varphi^{k-1}\right)$ für $\varphi|_{\ker\left(\varphi^{k-1}\right)}$ ist.

Letzte Behauptung: Die Menge $\left\{a_1, \varphi(a_1), \dots, a_s, \varphi(a_s), a_{s+1}, \dots, a_r\right\} \cup \mathcal{B}$ ist (in geeigneter Reihenfolge) eine Jordanbasis von $V$ für $\varphi$.

Diese Menge ist sicher eine Basis. Nach vorheriger Aussage ist die Bedingung eine Jordanbasis zu sein, für alle Vektoren ausser die $a_1, \dots, a_s$ erfüllt. Aber jeden dieser Vektoren können wir in der Reihenfolge vor das entsprechende $\varphi(a_i)$ stellen und erfüllen so die Bedingung. Also sind tatsächlich die Vektoren $a_1, \dots, a_s$ Teil einer Jordanbasis für $\varphi$, wie am Anfang behauptet.

Quellennachweis

• Jong, Theo de. Lineare Algebra. 1st ed. München: Pearson, Higher Education, 2013. Print. ISBN 978-3-86894-113-5 (print).